154 lines
4.3 KiB
Markdown
154 lines
4.3 KiB
Markdown
---
|
||
id: 5900f3c81000cf542c50fedb
|
||
title: 'Завдання 92: Послідовності квадратів цифр'
|
||
challengeType: 5
|
||
forumTopicId: 302209
|
||
dashedName: problem-92-square-digit-chains
|
||
---
|
||
|
||
# --description--
|
||
|
||
Послідовність чисел створюється шляхом додавання квадратів цифр попереднього числа до тих пір, поки не вийде число, яке вже зустрічалося раніше.
|
||
|
||
Наприклад,
|
||
|
||
$$\begin{align} & 44 → 32 → 13 → 10 → \boldsymbol{1} → \boldsymbol{1}\\\\
|
||
& 85 → \boldsymbol{89} → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → \boldsymbol{89}\\\\ \end{align}$$
|
||
|
||
Таким чином, будь-яка послідовність, що призводить до отримання 1 або 89, замкнеться в нескінченний цикл. Найдивовижніше, що БУДЬ-ЯКЕ початкове число рано чи пізно дасть 1 або 89.
|
||
|
||
Скільки початкових чисел `limit` десяти мільйонів приведуть до отримання 89?
|
||
|
||
# --hints--
|
||
|
||
`squareDigitChains(100)` повинен повертатися як число.
|
||
|
||
```js
|
||
assert(typeof squareDigitChains(100) === 'number');
|
||
```
|
||
|
||
`squareDigitChains(100)` повинен повертатися як `80`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(squareDigitChains(100), 80);
|
||
```
|
||
|
||
`squareDigitChains(1000)` має повертатися як `857`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(squareDigitChains(1000), 857);
|
||
```
|
||
|
||
`squareDigitChains(100000)` повинен повертатися як `85623`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(squareDigitChains(100000), 85623);
|
||
```
|
||
|
||
`squareDigitChains(10000000)` повинен повертатися як `8581146`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(squareDigitChains(10000000), 8581146);
|
||
```
|
||
|
||
# --seed--
|
||
|
||
## --seed-contents--
|
||
|
||
```js
|
||
function squareDigitChains(limit) {
|
||
|
||
return true;
|
||
}
|
||
|
||
squareDigitChains(100);
|
||
```
|
||
|
||
# --solutions--
|
||
|
||
```js
|
||
function squareDigitChains(limit) {
|
||
// Based on https://www.xarg.org/puzzle/project-euler/problem-92/
|
||
function getCombinations(neededDigits, curDigits) {
|
||
if (neededDigits === curDigits.length) {
|
||
return [curDigits];
|
||
}
|
||
const combinations = [];
|
||
const lastDigit = curDigits.length !== 0 ? curDigits[0] : 9;
|
||
for (let i = 0; i <= lastDigit; i++) {
|
||
const results = getCombinations(neededDigits, [i].concat(curDigits));
|
||
combinations.push(...results);
|
||
}
|
||
return combinations;
|
||
}
|
||
|
||
function getPossibleSums(limit) {
|
||
const digitsCount = getDigits(limit).length - 1;
|
||
const possibleSquaredSums = [false];
|
||
for (let i = 1; i <= 81 * digitsCount; i++) {
|
||
let curVal = i;
|
||
while (curVal !== 1 && curVal !== 89) {
|
||
curVal = addSquaredDigits(curVal);
|
||
}
|
||
possibleSquaredSums[i] = curVal === 89;
|
||
}
|
||
return possibleSquaredSums;
|
||
}
|
||
|
||
function addSquaredDigits(num) {
|
||
const digits = getDigits(num);
|
||
let result = 0;
|
||
for (let i = 0; i < digits.length; i++) {
|
||
result += digits[i] ** 2;
|
||
}
|
||
return result;
|
||
}
|
||
|
||
function getDigits(number) {
|
||
const digits = [];
|
||
while (number > 0) {
|
||
digits.push(number % 10);
|
||
number = Math.floor(number / 10);
|
||
}
|
||
return digits;
|
||
}
|
||
|
||
function getFactorials(number) {
|
||
const factorials = [1];
|
||
for (let i = 1; i < number; i++) {
|
||
factorials[i] = factorials[i - 1] * i;
|
||
}
|
||
return factorials;
|
||
}
|
||
|
||
const neededDigits = getDigits(limit).length - 1;
|
||
const combinations = getCombinations(neededDigits, []);
|
||
const possibleSquaredDigitsSums = getPossibleSums(limit);
|
||
const factorials = getFactorials(neededDigits + 1);
|
||
|
||
let endingWith89 = 0;
|
||
|
||
for (let i = 0; i < combinations.length; i++) {
|
||
let counts = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0];
|
||
let digits = combinations[i];
|
||
let curSum = 0;
|
||
for (let j = 0; j < digits.length; j++) {
|
||
const curDigit = digits[j];
|
||
curSum += curDigit ** 2;
|
||
counts[curDigit]++;
|
||
}
|
||
|
||
if (possibleSquaredDigitsSums[curSum]) {
|
||
let denominator = 1;
|
||
for (let j = 0; j < counts.length; j++) {
|
||
denominator = denominator * factorials[counts[j]];
|
||
}
|
||
endingWith89 += Math.floor(
|
||
factorials[factorials.length - 1] / denominator
|
||
);
|
||
}
|
||
}
|
||
return endingWith89;
|
||
}
|
||
```
|