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|---|---|---|---|---|
| 5900f4051000cf542c50ff18 | 問題 153: ガウス整数を調べ上げる | 5 | 301784 | problem-153-investigating-gaussian-integers |
--description--
式 x^2 = -1 が実数 x に対する解を持たないことは周知のとおりです。
しかし虚数 i を導入すると、この式は 2 つの解を持ちます。x = i と x = -i です。
さらに一歩進めると、式 {(x - 3)}^2 = -4 は 2 つの複素数の解を持ちます。x = 3 + 2i と x = 3 - 2i です。これらは互いの共役複素数と呼ばれます。
a + bi の形式で表される数は複素数と呼ばれます。
一般に、a + bi と a − bi は互いに共役複素数です。 ガウス整数とは、a と b の両方が整数である複素数 a + bi です。
普通の整数はガウス整数 (b = 0 の場合) でもあります。
b ≠ 0 であるガウス整数と区別するために、普通の整数を「有理整数」と呼びます。
有理整数 n をガウス整数で割った結果もガウス整数である場合、有理整数を割った方のガウス整数を約数 (divisor) と呼びます。
例えば、5 を 1 + 2i で割る場合は次のように簡略化できます。
分子と分母に 1 + 2i の共役複素数 (1 − 2i) を乗じます。
結果:
\frac{5}{1 + 2i} = \frac{5}{1 + 2i} \frac{1 - 2i}{1 - 2i} = \frac{5(1 - 2i)}{1 - {(2i)}^2} = \frac{5(1 - 2i)}{1 - (-4)} = \frac{5(1 - 2i)}{5} = 1 - 2i
したがって、1 + 2i は 5 の約数です。
1 + i が 5 の約数ではないことに注意してください。理由を次に示します。
\frac{5}{1 + i} = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}i
また、ガウス整数 (a + bi) が有理整数 n の約数である場合、その共役複素数 (a − bi) も n の約数であることに注意してください。 実際、5 は 実部が正である約数を 6 つ持ち、それらは {1, 1 + 2i, 1 − 2i, 2 + i, 2 − i, 5} です。
下表は、最初の 5 つの正の有理整数の約数を示しています。
| n | 実部が正であるガウス整数の約数 | 約数の和 s(n) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1, 1 + i, 1 - i, 2 | 5 |
| 3 | 1, 3 | 4 |
| 4 | 1, 1 + i, 1 - i, 2, 2 + 2i, 2 - 2i, 4 | 13 |
| 5 | 1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5 | 12 |
これにより、実部が正である約数について \displaystyle\sum_{n=1}^5 (n) = 35 が得られます。
1 ≤ n ≤ {10}^5 のとき、\displaystyle\sum_{n = 1}^{{10}^5} s(n) = 17924657155 です。
\displaystyle\sum_{n=1}^{{10}^8} s(n) を求めなさい。
--hints--
sumGaussianIntegers() は 17971254122360636 を返す必要があります。
assert.strictEqual(sumGaussianIntegers(), 17971254122360636);
--seed--
--seed-contents--
function sumGaussianIntegers() {
return true;
}
sumGaussianIntegers();
--solutions--
// solution required