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id: 5900f3cc1000cf542c50fede
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title: '問題 95: 友愛鎖'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 302212
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dashedName: problem-95-amicable-chains
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# --description--
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数の真の約数とは、その数自体を除くすべての約数です。 例えば、28の真の約数は 1, 2, 4, 7, 14 です。 これらの約数の和は 28 に等しく、このような数を完全数と呼びます。
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面白いことに、220 の真の約数の和は 284であり、284 の真の約数の和は 220 で、2 つの数字の連鎖を形成します。 このため、220 と 284は友愛数ペアと呼ばれます。
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おそらくあまり知られていないのは、もっと長い連鎖です。 例えば、12496 から始めて 5 つの数字の連鎖を作ります。
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$$ 12496 → 14288 → 15472 → 14536 → 14264 \\,(→ 12496 → \cdots) $$
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この連鎖は出発点に戻るので、友愛鎖と呼ばれます。
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どの要素も `limit` を超えない、最も長い友愛鎖の最小の数字を求めなさい。
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# --hints--
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`amicableChains(300)` は数値を返す必要があります。
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```js
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assert(typeof amicableChains(300) === 'number');
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```
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`amicableChains(300)` は `220` を返す必要があります。
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```js
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assert.strictEqual(amicableChains(300), 220);
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```
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`amicableChains(15000)` は `220` を返す必要があります。
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```js
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assert.strictEqual(amicableChains(15000), 220);
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```
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`amicableChains(100000)` は `12496` を返す必要があります。
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```js
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assert.strictEqual(amicableChains(100000), 12496);
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```
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`amicableChains(1000000)` は `14316` を返す必要があります。
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```js
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assert.strictEqual(amicableChains(1000000), 14316);
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```
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function amicableChains(limit) {
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return true;
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}
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amicableChains(300);
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```
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# --solutions--
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```js
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function amicableChains(limit) {
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function getSmallestMember(chain) {
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let smallest = chain[0];
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for (let i = 1; i < chain.length; i++) {
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if (smallest > chain[i]) {
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smallest = chain[i];
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}
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}
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return smallest;
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}
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function getFactorsSums(limit) {
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const factorsSums = new Array(limit + 1).fill(1);
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for (let i = 2; i <= limit / 2; i++) {
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for (let j = 2 * i; j <= limit; j += i) {
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factorsSums[j] += i;
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}
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}
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return factorsSums;
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}
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const factorsSums = getFactorsSums(limit);
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const checkedNumbers = new Set();
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let longestChain = 0;
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let smallestMember = 0;
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for (let i = 0; i <= limit; i++) {
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const curChain = [];
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let curNumber = i;
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while (!checkedNumbers.has(curNumber) && factorsSums[curNumber] <= limit) {
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curNumber = factorsSums[curNumber];
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const chainStart = curChain.indexOf(curNumber);
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if (chainStart === -1) {
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curChain.push(curNumber);
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continue;
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}
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const chainLength = curChain.length - chainStart;
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if (chainLength > longestChain) {
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longestChain = chainLength;
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smallestMember = getSmallestMember(curChain.slice(chainStart));
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}
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break;
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}
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for (let j = 0; j < curChain.length; j++) {
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checkedNumbers.add(curChain[j]);
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}
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}
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|
return smallestMember;
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|
}
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```
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