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id: 5900f3f51000cf542c50ff08
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title: '問題 137: フィボナッチ金塊'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 301765
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dashedName: problem-137-fibonacci-golden-nuggets
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# --description--
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無限多項式級数 $A_{F}(x) = xF_1 + x^2F_2 + x^3F_3 + \ldots$ について考えます。ここで、$F_k$ はフィボナッチ数列 $1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots$ (すなわち $F_k = F_{k − 1} + F_{k − 2}, F_1 = 1$, $F_2 = 1$) の第 $k$ 項です。
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この問題では、$A_{F}(x)$ が正の整数となるような $x$ の値に注目します。
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驚くべきことに、次の式が成り立ちます。
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$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
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最初の 5 つの自然数に対応する $x$ の値を下表に示します。
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| $x$ | $A_F(x)$ |
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| --------------------------- | -------- |
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| $\sqrt{2} − 1$ | $1$ |
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| $\frac{1}{2}$ | $2$ |
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| $\frac{\sqrt{13} − 2}{3}$ | $3$ |
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| $\frac{\sqrt{89} − 5}{8}$ | $4$ |
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| $\frac{\sqrt{34} − 3}{5}$ | $5$ |
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$x$ が有理数である $A_F(x)$ の値は次第にまれになるので、それを「金塊」と呼ぶことにします。例えば、10 番目の金塊は 74049690 です。
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15 番目の金塊を求めなさい。
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# --hints--
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`goldenNugget()` は `1120149658760` を返す必要があります。
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```js
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assert.strictEqual(goldenNugget(), 1120149658760);
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```
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function goldenNugget() {
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return true;
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}
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goldenNugget();
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```
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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```
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