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id: 5900f4ab1000cf542c50ffbd
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title: '問題 318: 2011 個の 9'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 301974
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dashedName: problem-318-2011-nines
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# --description--
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実数 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ について考えます。
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$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ の偶数乗を計算すると、次のようになります。
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$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
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これらの累乗の分数部を見ると、先頭で連続している 9 の個数が非減少であるように見えます。 実際に、$n$ が大きいと ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n}$ の小数部が 1 に近付くということを証明できます。
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正の整数 $p$ と $q$ ($p < q$) があるとき、$n$ が大きいと ${(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n}$ の小数部 が 1 に近付くようなすべての実数 $\sqrt{p} + \sqrt{q}$ について考えます。
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${(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n}$ の小数部の先頭で連続している 9 の個数を $C(p,q,n)$ とします。
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$C(p,q,n) ≥ 2011$ を満たす $n$ の最小値を $N(p,q)$ とします。
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$p + q ≤ 2011$ のとき、$\sum N(p,q)$ を求めなさい。
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# --hints--
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`twoThousandElevenNines()` は `709313889` を返す必要があります。
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```js
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assert.strictEqual(twoThousandElevenNines(), 709313889);
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function twoThousandElevenNines() {
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return true;
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}
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twoThousandElevenNines();
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```
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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```
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