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title: 'Problema 450: Pontos da rede e hipocicloide'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 302123
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dashedName: problem-450-hypocycloid-and-lattice-points
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# --description--
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Um hipocicloide é a curva desenhada por um ponto em um pequeno círculo girando dentro de um círculo maior. As equações paramétricas de um hipocicloide centrado na origem e começando no ponto mais à direita são dadas por:
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$$x(t) = (R - r) \cos(t) + r \cos(\frac{R - r}{r}t)$$
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$$y(t) = (R - r) \sin(t) - r \sin(\frac{R - r}{r} t)$$
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Onde $R$ é o raio do círculo grande e $r$ o raio do círculo pequeno.
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Considere $C(R, r)$ como o conjunto de pontos distintos com coordenadas em números inteiros do hipocicloide com raio $R$ e $r$ e para o qual há um valor correspondente de $t$, tal que $\sin(t)$ e $\cos(t)$ são números racionais.
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Considere $S(R, r) = \sum\_{(x,y) \in C(R, r)} |x| + |y|$ como a soma dos valores absolutos das coordenadas $x$ e $y$ dos pontos em $C(R, r)$.
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Considere $T(N) = \sum_{R = 3}^N \sum_{r=1}^{\left\lfloor \frac{R - 1}{2} \right\rfloor} S(R, r)$ como a soma de $S(R, r)$ para $R$ e $r$ sendo números inteiros positivos, $R\leq N$ e $2r < R$.
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Você é informado de que:
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$$\begin{align} C(3, 1) = & \\{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\\} \\\\ C(2500, 1000) = & \\{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\\\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\\} \end{align}$$
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**Observação:** (-625, 0) não é um elemento de $C(2500, 1000)$, pois $\sin(t)$ não é um número racional para os valores correspondentes de t.
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$S(3, 1) = (|3| + |0|) + (|-1| + |2|) + (|-1| + |0|) + (|-1| + |-2|) = 10$
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$T(3) = 10$; $T(10) = 524$; $T(100) = 580.442$; $T({10}^3) = 583.108.600$.
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Encontre $T({10}^6)$.
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# --hints--
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`hypocycloidAndLatticePoints()` deve retornar `583333163984220900`.
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```js
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assert.strictEqual(hypocycloidAndLatticePoints(), 583333163984220900);
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```
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function hypocycloidAndLatticePoints() {
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return true;
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}
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hypocycloidAndLatticePoints();
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```
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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```
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