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title: 'Problema 478: Misturas'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 302155
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dashedName: problem-478-mixtures
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# --description--
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Considere as misturas de três substâncias: $A$, $B$ e $C$. Uma mistura pode ser descrita pela proporção da quantidade de $A$, $B$, e $C$ nela, ou seja, $(a : b : c)$. Por exemplo, uma mistura descrita pela proporção (2 : 3 : 5) contém 20% de $A$, 30% de $B$ e 50% de $C$.
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Para efeitos deste problema, não podemos separar os componentes individuais de uma mistura. No entanto, podemos combinar diferentes quantidades de diferentes misturas para formar misturas com novas proporções.
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Por exemplo, digamos que temos três misturas com proporções (3 : 0 : 2), (3 : 6 : 11) e (3 : 3 : 4). Ao misturar 10 unidades da primeira, 20 unidades da segunda e 30 unidades da terceira, temos uma nova mistura com proporção (6 : 5 : 9), pois: ($10 \times \frac{3}{5} + 20 \times \frac{3}{20} + 30 \times \frac{3}{10}$ : $10 \times \frac{0}{5} + 20 \times \frac{6}{20} + 30 \times \frac{3}{10}$ : $10 \times \frac{2}{5} + 20 \times \frac{11}{20} + 30 \times \frac{4}{10}$) = (18 : 15 : 27) = (6 : 5 : 9)
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No entanto, com as mesmas três misturas, é impossível formar a proporção (3 : 2 : 1), já que o valor de $B$ é sempre menor que o valor de $C$.
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Considere $n$ um inteiro positivo. Suponha que para cada trio de números inteiros $(a, b, c)$ com $0 ≤ a, b, c ≤ n$ e $gcd(a, b, c) = 1$ (máximo divisor comum), temos uma mistura com proporção $(a : b : c)$. Considere $M(n)$ como o conjunto dessas misturas.
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Por exemplo, $M(2)$ contém as 19 misturas com as seguintes proporções:
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{(0 : 0 : 1), (0 : 1 : 0), (0 : 1 : 1), (0 : 1 : 2), (0 : 2 : 1), (1 : 0 : 0), (1 : 0 : 1), (1 : 0 : 2), (1 : 1 : 0), (1 : 1 : 1), (1 : 1 : 2), (1 : 2 : 0), (1 : 2 : 1), (1 : 2 : 2), (2 : 0 : 1), (2 : 1 : 0), (2 : 1 : 1), (2 : 1 : 2), (2 : 2 : 1)}.
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Considere $E(n)$ como o número de subconjuntos de $M(n)$ que podem produzir a mistura com proporção (1 : 1 : 1), ou seja, a mistura com partes iguais de $A$, $B$ e $C$.
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Podemos verificar que $E(1) = 103$, $E(2) = 520.447$, $E(10)\bmod {11}^8 = 82.608.406$ e $E(500)\bmod {11}^8 = 13.801.403$.
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Encontre $E(10.000.000)\bmod {11}^8$.
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# --hints--
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`mixtures()` deve retornar `59510340`.
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```js
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assert.strictEqual(mixtures(), 59510340);
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# --seed--
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## --seed-contents--
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function mixtures() {
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return true;
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}
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mixtures();
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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