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id: 5900f5131000cf542c510025
title: 'Problema 422: Sequência de pontos em uma hipérbole'
challengeType: 5
forumTopicId: 302092
dashedName: problem-422-sequence-of-points-on-a-hyperbola
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# --description--

Considere $H$ como a hipérbole definida pela equação $12x^2 + 7xy - 12y^2 = 625$.

Em seguida, defina $X$ como o ponto (7, 1). Pode-se ver que $X$ está em $H$.

Definiremos uma sequência de pontos em $H, \\{P_i : i ≥ 1\\}$, como:

- $P_1 = (13, \frac{61}{4})$.
- $P_2 = (\frac{-43}{6}, -4)$.
- Para $i > 2$, $P_i$ é o único ponto $H$ que é diferente de $P_{i - 1}$ e tal que a linha $P_iP_{i - 1}$ é paralela à linha $P_{i - 2}X$. Pode-se ver que $P_i$ está corretamente definido e que suas coordenadas são sempre racionais.

<img class="img-responsive center-block" alt="animação mostrando os pontos de definição de P_1 a P_6" src="https://cdn.freecodecamp.org/curriculum/project-euler/sequence-of-points-on-a-hyperbola.gif" style="background-color: white; padding: 10px;" />

Você é informado de que $P_3 = (\frac{-19}{2}, \frac{-229}{24})$, $P_4 = (\frac{1267}{144}, \frac{-37}{12})$ and $P_7 = (\frac{17.194.218.091}{143.327.232}, \frac{274.748.766.781}{1.719.926.784})$.

Encontre $P_n$ para $n = {11}^{14}$ no seguinte formato: se $P_n = (\frac{a}{b}, \frac{c}{d})$, onde as frações estão nos menores termos e os denominadores são positivos, então a resposta é $(a + b + c + d)\bmod 1.000.000.007$.

Para $n = 7$, a resposta seria: $806.236.837$.

# --hints--

`sequenceOfPointsOnHyperbola()` deve retornar `92060460`.

```js
assert.strictEqual(sequenceOfPointsOnHyperbola(), 92060460);
```

# --seed--

## --seed-contents--

```js
function sequenceOfPointsOnHyperbola() {

  return true;
}

sequenceOfPointsOnHyperbola();
```

# --solutions--

```js
// solution required
```