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|---|---|---|---|---|
| 5900f3f51000cf542c50ff08 | 问题 137：斐波那契金块 | 5 | 301765 | problem-137-fibonacci-golden-nuggets |
--description--
考虑无穷级数 $A_{F}(x) = xF_1 + x^2F_2 + x^3F_3 + \ldots$，其中 F_k 是斐波那契数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots 的第 k 项；即 $F_k = F_{k − 1} + F_{k − 2}, F_1 = 1$，$F_2 = 1$。
在这个问题中，我们关注的是那些使得 A_{F}(x) 为正整数的 x 的值。
令人惊讶的是：
$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\ & = 2 \end{align}$$
前五个对应的自然数 x 如下。
x |
A_F(x) |
|---|---|
\sqrt{2} − 1 |
1 |
\frac{1}{2} |
2 |
\frac{\sqrt{13} − 2}{3} |
3 |
\frac{\sqrt{89} − 5}{8} |
4 |
\frac{\sqrt{34} − 3}{5} |
5 |
当 x 是有理数时，我们称 A_F(x) 是一个金砖，因为这样的数字逐渐变得稀少；例如，第 10 个金砖是 74049690。
请求出第 15 个金砖。
--hints--
goldenNugget() 应该返回 1120149658760。
assert.strictEqual(goldenNugget(), 1120149658760);
--seed--
--seed-contents--
function goldenNugget() {
return true;
}
goldenNugget();
--solutions--
// solution required