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2022-04-01 02:01:59 +09:00

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5900f3f51000cf542c50ff08 问题 137斐波那契金块 5 301765 problem-137-fibonacci-golden-nuggets

--description--

考虑无穷级数 $A_{F}(x) = xF_1 + x^2F_2 + x^3F_3 + \ldots$,其中 F_k 是斐波那契数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots 的第 k 项;即 $F_k = F_{k 1} + F_{k 2}, F_1 = 1$$F_2 = 1$。

在这个问题中,我们关注的是那些使得 A_{F}(x) 为正整数的 x 的值。

令人惊讶的是:

$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\ & = 2 \end{align}$$

前五个对应的自然数 x 如下。

x A_F(x)
\sqrt{2} 1 1
\frac{1}{2} 2
\frac{\sqrt{13} 2}{3} 3
\frac{\sqrt{89} 5}{8} 4
\frac{\sqrt{34} 3}{5} 5

x 是有理数时,我们称 A_F(x) 是一个金砖,因为这样的数字逐渐变得稀少;例如,第 10 个金砖是 74049690。

请求出第 15 个金砖。

--hints--

goldenNugget() 应该返回 1120149658760

assert.strictEqual(goldenNugget(), 1120149658760);

--seed--

--seed-contents--

function goldenNugget() {

  return true;
}

goldenNugget();

--solutions--

// solution required