63 lines
2.0 KiB
Markdown
63 lines
2.0 KiB
Markdown
---
|
|
id: 5900f41c1000cf542c50ff2e
|
|
title: >-
|
|
問題 175: ある数を 2 の累乗の和で表す方法が何通りあるかに関わる分数
|
|
challengeType: 5
|
|
forumTopicId: 301810
|
|
dashedName: >-
|
|
problem-175-fractions-involving-the-number-of-different-ways-a-number-can-be-expressed-as-a-sum-of-powers-of-2
|
|
---
|
|
|
|
# --description--
|
|
|
|
$f(0)=1$ と定義し、$n$ を 2 の累乗の和で表す方法が何通りあるかを $f(n)$ で表すものとします。ただし、それぞれの累乗は最大 2 回しか使えないものとします。
|
|
|
|
例えば、10 を表す方法は次のように 5 通りあるので、$f(10) = 5$ です。
|
|
|
|
$$10 = 8 + 2 = 8 + 1 + 1 = 4 + 4 + 2 = 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 4 + 4 + 1 + 1$$
|
|
|
|
すべての分数 $\frac{p}{q}\\; (p>0, q>0)$ について、$\frac{f(n)}{f(n - 1)} = \frac{p}{q}$ となるような整数 $n$ が少なくとも 1 つあることが分かっています。
|
|
|
|
例えば、$\frac{f(n)}{f(n - 1)} = \frac{13}{17}$ となるような最小の $n$ は 241 です。 241 の 2 進展開は 11110001 です。
|
|
|
|
この 2 進数の最上位の桁から最下位の桁までを読むと、1 が 4 つ、0 が 3つ、1 が 1 つ並んでいます。 この 4, 3, 1 を、241 の「短縮型 2 進展開」と呼ぶことにします。
|
|
|
|
次の式が成り立つ最小の $n$ の短縮型 2 進展開を求めなさい。
|
|
|
|
$$\frac{f(n)}{f(n - 1)} = \frac{123456789}{987654321}$$
|
|
|
|
回答は、スペースを含まないカンマ区切りの整数にすること。
|
|
|
|
# --hints--
|
|
|
|
`shortenedBinaryExpansionOfNumber()` は文字列を返す必要があります
|
|
|
|
```js
|
|
assert(typeof shortenedBinaryExpansionOfNumber() === 'string');
|
|
```
|
|
|
|
`shortenedBinaryExpansionOfNumber()` は文字列 `1,13717420,8` を返す必要があります。
|
|
|
|
```js
|
|
assert.strictEqual(shortenedBinaryExpansionOfNumber(), '1,13717420,8');
|
|
```
|
|
|
|
# --seed--
|
|
|
|
## --seed-contents--
|
|
|
|
```js
|
|
function shortenedBinaryExpansionOfNumber() {
|
|
|
|
return true;
|
|
}
|
|
|
|
shortenedBinaryExpansionOfNumber();
|
|
```
|
|
|
|
# --solutions--
|
|
|
|
```js
|
|
// solution required
|
|
```
|