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5900f3f51000cf542c50ff08 問題 137斐波那契金塊 5 301765 problem-137-fibonacci-golden-nuggets

--description--

考慮無窮級數 $A_{F}(x) = xF_1 + x^2F_2 + x^3F_3 + \ldots$,其中 F_k 是斐波那契數列 1, 1, 2, 3, 5, 8, \ldots 的第 k 項;即 $F_k = F_{k 1} + F_{k 2}, F_1 = 1$$F_2 = 1$。

在這個問題中,我們關注的是那些使得 A_{F}(x) 爲正整數的 x 的值。

令人驚訝的是:

$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\ & = 2 \end{align}$$

前五個對應的自然數 x 如下。

x A_F(x)
\sqrt{2} 1 1
\frac{1}{2} 2
\frac{\sqrt{13} 2}{3} 3
\frac{\sqrt{89} 5}{8} 4
\frac{\sqrt{34} 3}{5} 5

x 是有理數時,我們稱 A_F(x) 是一個金磚,因爲這樣的數字逐漸變得稀少;例如,第 10 個金磚是 74049690。

請求出第 15 個金磚。

--hints--

goldenNugget() 應該返回 1120149658760

assert.strictEqual(goldenNugget(), 1120149658760);

--seed--

--seed-contents--

function goldenNugget() {

  return true;
}

goldenNugget();

--solutions--

// solution required