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|---|---|---|---|---|
| 5900f4ab1000cf542c50ffbd | Problema 318: 2011 nove | 5 | 301974 | problem-318-2011-nines |
--description--
Considera il numero reale \sqrt{2} + \sqrt{3}.
Quando calcoliamo le potenze pari di \sqrt{2} + \sqrt{3} troviamo:
$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\ \end{align}$$
Sembra che il numero di nove consecutivi all'inizio della parte frazionaria di queste potenze non diminuisca. In realtà si può dimostrare che la parte frazionaria di {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n} si avvicina 1 per n di grandi dimensioni.
Considera tutti i numeri reali del modulo \sqrt{p} + \sqrt{q} con p e q interi positivi e p < q, tali che la parte frazionaria di {(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n} si avvicina 1 per n di grandi dimensioni.
Sia C(p,q,n) il numero di nove consecutivi all'inizio della parte frazionaria di {(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n}.
Sia N(p,q) il valore minimo di n tale che C(p,q,n) ≥ 2011.
Trova \sum N(p,q) per p + q ≤ 2011.
--hints--
twoThousandElevenNines() dovrebbe restituire 709313889.
assert.strictEqual(twoThousandElevenNines(), 709313889);
--seed--
--seed-contents--
function twoThousandElevenNines() {
return true;
}
twoThousandElevenNines();
--solutions--
// solution required