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title: 'Problema 318: 2011 nove'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 301974
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dashedName: problem-318-2011-nines
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# --description--
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Considera il numero reale $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.
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Quando calcoliamo le potenze pari di $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ troviamo:
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$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\
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& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\
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& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\
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& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\
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& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
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Sembra che il numero di nove consecutivi all'inizio della parte frazionaria di queste potenze non diminuisca. In realtà si può dimostrare che la parte frazionaria di ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n}$ si avvicina 1 per $n$ di grandi dimensioni.
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Considera tutti i numeri reali del modulo $\sqrt{p} + \sqrt{q}$ con $p$ e $q$ interi positivi e $p < q$, tali che la parte frazionaria di ${(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n}$ si avvicina 1 per $n$ di grandi dimensioni.
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Sia $C(p,q,n)$ il numero di nove consecutivi all'inizio della parte frazionaria di ${(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n}$.
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Sia $N(p,q)$ il valore minimo di $n$ tale che $C(p,q,n) ≥ 2011$.
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Trova $\sum N(p,q)$ per $p + q ≤ 2011$.
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# --hints--
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`twoThousandElevenNines()` dovrebbe restituire `709313889`.
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```js
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assert.strictEqual(twoThousandElevenNines(), 709313889);
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```
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function twoThousandElevenNines() {
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return true;
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}
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twoThousandElevenNines();
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```
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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```
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