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5900f50b1000cf542c51001d	Problema 414: Costante di Kaprekar	5	302083	problem-414-kaprekar-constant

--description--

6174 è un numero notevole; se ordiniamo le sue cifre in ordine crescente e sottraiamo quel numero dal numero che si ottiene quando si ordinano le cifre in ordine decrescente, riceviamo 7641 - 1467 = 6174.

Ancora più notevole è che se partiamo da qualsiasi numero a 4 cifre e ripetiamo questo processo di smistamento e sottrazione, finiremo con 6174 o immediatamente con 0 se tutte le cifre sono uguali.

Questo funziona anche con numeri che hanno meno di 4 cifre se aggiungiamo al numero degli zeri iniziali fino a quando non abbiamo 4 cifre.

Ad es. iniziamo con il numero 0837:

$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\ & 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$

6174 è chiamata costante Kaprekar. Il processo di ordinamento e sottrazione e ripetizione fino a quando non si raggiunge lo 0 o la costante Kaprekar è chiamato la routine di Kaprekar.

Possiamo considerare la routine di Kaprekar per altre basi e numeri di cifre. Purtroppo, non è garantito che una costante di Kaprekar esista in tutti i casi; inoltre la routine può finire in un ciclo per alcuni numeri di ingresso o la costante a cui la routine arriva può essere diversa per numeri di input diversi. Tuttavia, può essere dimostrato che per 5 cifre e una base b = 6t + 3 ≠ 9, esiste una costante di Kaprekar.

Ad es. base 15: {(10, 4, 14, 9, 5)}\_{15} base 21: (14, 6, 20, 13, 7)_{21}

Definisci C_b in modo tale che sia la costante di Kaprekar nella base b per 5 cifre. Definisci la funzione sb(i) in modo tale che:

• 0 se i = C_b o se i scritto in base b consiste di 5 cifre identiche
• il numero di iterazioni necessarie alla routine di Kaprekar nella base b per arrivare a C_b, altrimenti

Nota che possiamo definire sb(i) per tutti gli interi i < b^5. Se i scritto in base b richiede meno di 5 cifre, il numero è riempito con cifre iniziali zero fino a quando non abbiamo 5 cifre prima di applicare la routine Kaprekar.

Definisci S(b) come la somma di sb(i) per 0 < i < b^5. Ad es. S(15) = 5\\,274\\,369 S(111) = 400\\,668\\,930\\,299

Trova la somma di S(6k + 3) per 2 ≤ k ≤ 300. Dai le ultime 18 cifre come risposta.

--hints--

kaprekarConstant() dovrebbe restituire 552506775824935500.

assert.strictEqual(kaprekarConstant(), 552506775824935500);

--seed--

--seed-contents--

function kaprekarConstant() {

  return true;
}

kaprekarConstant();

--solutions--

// solution required