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|---|---|---|---|---|
| 5900f4ab1000cf542c50ffbd | Problema 318: 2011 noves | 5 | 301974 | problem-318-2011-nines |
--description--
Considere o número real \sqrt{2} + \sqrt{3}.
Quando calculamos as potências pares de \sqrt{2} + \sqrt{3} obtemos:
$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\ \end{align}$$
Parece que o número de noves consecutivos no início da parte fracionária dessas potências não diminui. Na verdade, pode ser provado que a parte fracionária de {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n} aproxima-se de 1 para n grandes.
Considere todos os números reais da forma \sqrt{p} + \sqrt{q} com p e q números inteiros positivos e p < q, tal que a parte fracionária de {(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n} se aproxima de 1 para n grandes.
Considere C(p,q,n) como o número de noves consecutivos no início da parte fracionária de {(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n}.
Considere N(p,q) como o valor mínimo de n, tal que C(p,q,n) ≥ 2011.
Encontre \sum N(p,q) para p + q ≤ 2011.
--hints--
twoThousandElevenNines() deve retornar 709313889.
assert.strictEqual(twoThousandElevenNines(), 709313889);
--seed--
--seed-contents--
function twoThousandElevenNines() {
return true;
}
twoThousandElevenNines();
--solutions--
// solution required