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title: 'Problema 318: 2011 noves'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 301974
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dashedName: problem-318-2011-nines
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# --description--
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Considere o número real $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.
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Quando calculamos as potências pares de $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ obtemos:
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$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\
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& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\
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& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\
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& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\
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& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
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Parece que o número de noves consecutivos no início da parte fracionária dessas potências não diminui. Na verdade, pode ser provado que a parte fracionária de ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n}$ aproxima-se de 1 para $n$ grandes.
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Considere todos os números reais da forma $\sqrt{p} + \sqrt{q}$ com $p$ e $q$ números inteiros positivos e $p < q$, tal que a parte fracionária de ${(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n}$ se aproxima de 1 para $n$ grandes.
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Considere $C(p,q,n)$ como o número de noves consecutivos no início da parte fracionária de ${(\sqrt{p} + \sqrt{q})}^{2n}$.
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Considere $N(p,q)$ como o valor mínimo de $n$, tal que $C(p,q,n) ≥ 2011$.
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Encontre $\sum N(p,q)$ para $p + q ≤ 2011$.
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# --hints--
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`twoThousandElevenNines()` deve retornar `709313889`.
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```js
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assert.strictEqual(twoThousandElevenNines(), 709313889);
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```
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function twoThousandElevenNines() {
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return true;
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}
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twoThousandElevenNines();
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```
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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```
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