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|---|---|---|---|---|
| 5900f4ed1000cf542c50fffe | Problema 384: Sequência de Rudin-Shapiro | 5 | 302048 | problem-384-rudin-shapiro-sequence |
--description--
Defina a sequência a(n) como o número de pares adjacentes de uns na expansão binária de n (possivelmente sobrepostos).
Por exemplo: a(5) = a({101}_2) = 0, a(6) = a({110}_2) = 1, a(7) = a({111}_2) = 2
Defina a sequência b(n) = {(-1)}^{a(n)}. Essa sequência é chamada de sequência de Rudin-Shapiro.
Além disso, considere a sequência somatória de b(n): s(n) = \displaystyle\sum_{i = 0}^{n} b(i).
Os primeiros valores destas sequências são:
$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\ s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
A sequência s(n) tem a incrível propriedade de que todos os elementos são positivos e de que todo número inteiro positivo k ocorre exatamente k vezes.
Defina g(t, c), com 1 ≤ c ≤ t, como o índice em s(n) para o qual t ocorre pela $c$ª vez em s(n).
Ex.: g(3, 3) = 6, g(4, 2) = 7 e g(54321, 12345) = 1.220.847.710.
Considere F(n) como a sequência de Fibonacci definida por:
$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ e} \\ & F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ para } n > 1. \end{align}$$
Defina GF(t) = g(F(t), F(t - 1)).
Encontre a \sum GF(t) para 2 ≤ t ≤ 45.
--hints--
rudinShapiroSequence() deve retornar 3354706415856333000.
assert.strictEqual(rudinShapiroSequence(), 3354706415856333000);
--seed--
--seed-contents--
function rudinShapiroSequence() {
return true;
}
rudinShapiroSequence();
--solutions--
// solution required