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title: 'Problema 384: Sequência de Rudin-Shapiro'
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challengeType: 5
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forumTopicId: 302048
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dashedName: problem-384-rudin-shapiro-sequence
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# --description--
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Defina a sequência $a(n)$ como o número de pares adjacentes de uns na expansão binária de $n$ (possivelmente sobrepostos).
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Por exemplo: $a(5) = a({101}_2) = 0$, $a(6) = a({110}_2) = 1$, $a(7) = a({111}_2) = 2$
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Defina a sequência $b(n) = {(-1)}^{a(n)}$. Essa sequência é chamada de sequência de Rudin-Shapiro.
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Além disso, considere a sequência somatória de $b(n)$: $s(n) = \displaystyle\sum_{i = 0}^{n} b(i)$.
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Os primeiros valores destas sequências são:
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$$\begin{array}{lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\\
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a(n) & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ b(n) & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 & 1 \\\\
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s(n) & 1 & 2 & 3 & 2 & 3 & 4 & 3 & 4 \end{array}$$
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A sequência $s(n)$ tem a incrível propriedade de que todos os elementos são positivos e de que todo número inteiro positivo $k$ ocorre exatamente $k$ vezes.
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Defina $g(t, c)$, com $1 ≤ c ≤ t$, como o índice em $s(n)$ para o qual $t$ ocorre pela $c$ª vez em $s(n)$.
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Ex.: $g(3, 3) = 6$, $g(4, 2) = 7$ e $g(54321, 12345) = 1.220.847.710$.
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Considere $F(n)$ como a sequência de Fibonacci definida por:
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$$\begin{align} & F(0) = F(1) = 1 \text{ e} \\\\
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& F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) \text{ para } n > 1. \end{align}$$
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Defina $GF(t) = g(F(t), F(t - 1))$.
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Encontre a $\sum GF(t)$ para $2 ≤ t ≤ 45$.
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# --hints--
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`rudinShapiroSequence()` deve retornar `3354706415856333000`.
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```js
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assert.strictEqual(rudinShapiroSequence(), 3354706415856333000);
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```
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# --seed--
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## --seed-contents--
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```js
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function rudinShapiroSequence() {
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return true;
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}
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rudinShapiroSequence();
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```
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# --solutions--
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```js
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// solution required
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```
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