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5900f50b1000cf542c51001d	Problema 414: Constante de Kaprekar	5	302083	problem-414-kaprekar-constant

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6174 é um número incrível. Se ordenarmos seus algarismos em ordem crescente e subtrairmos esse número do número obtido ao ordenar os algarismos em ordem decrescente, temos 7641 - 1467 = 6174.

Ainda mais incrível é o fato de que, se começarmos com qualquer número de 4 algarismos e repetirmos esse processo de ordenação e subtração, em algum momento chegaremos a 6174 ou imediatamente a 0 se todos os algarismos forem iguais.

Isso também funciona com números que têm menos de 4 algarismos se colocarmos zeros à esquerda do número até chegarmos a 4 algarismos.

Ex: vamos começar com o número 0837:

$$\begin{align} & 8730 - 0378 = 8352 \\ & 8532 - 2358 = 6174 \end{align}$$

6174 é chamado de constante de Kaprekar. O processo de ordenar e subtrair e repetir isso até chegar a 0 ou à constante de Kaprekar é chamado de rotina de Kaprekar.

Podemos considerar a rotina de Kaprekar para outras bases e quantidades de algarismos. Infelizmente, não é garantido que uma constante de Kaprekar exista em todos os casos; ou a rotina pode terminar em um ciclo para alguns números de entrada ou a constante a qual a rotina chega pode diferir para números de entrada diversos. Podemos, no entanto, mostrar que, para 5 algarismos e uma base b = 6t + 3 ≠ 9, existe uma constante de Kaprekar.

Ex: base 15: {(10, 4, 14, 9, 5)}\_{15} base 21: (14, 6, 20, 13, 7)_{21}

Defina C_b como a constante de Kaprekar na base b para 5 algarismos. Defina a função sb(i) como:

• 0 se i = C_b ou se i escrito na base b consiste em 5 algarismos idênticos
• o número de iterações necessário para que a rotina de Kaprekar na base b chegue a C_b, em outros casos

Observe que podemos definir sb(i) para todos os números inteiros i < b^5. Se i escrito na base b tiver menos de 5 algarismos, o número recebe algarismos zero à esquerda até chegar a 5 algarismos antes de aplicar a rotina de Kaprekar.

Defina S(b) como a soma de sb(i) para 0 < i < b^5. Ex: S(15) = 5.274.369 S(111) = 400.668.930.299

Encontre a soma de S(6k + 3) para 2 ≤ k ≤ 300. Dê os últimos 18 algarismos da sua resposta.

--hints--

kaprekarConstant() deve retornar 552506775824935500.

assert.strictEqual(kaprekarConstant(), 552506775824935500);

--seed--

--seed-contents--

function kaprekarConstant() {

  return true;
}

kaprekarConstant();

--solutions--

// solution required