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5900f52e1000cf542c510041	Problema 450: Pontos da rede e hipocicloide	5	302123	problem-450-hypocycloid-and-lattice-points

--description--

Um hipocicloide é a curva desenhada por um ponto em um pequeno círculo girando dentro de um círculo maior. As equações paramétricas de um hipocicloide centrado na origem e começando no ponto mais à direita são dadas por:

x(t) = (R - r) \cos(t) + r \cos(\frac{R - r}{r}t) y(t) = (R - r) \sin(t) - r \sin(\frac{R - r}{r} t)

Onde R é o raio do círculo grande e r o raio do círculo pequeno.

Considere C(R, r) como o conjunto de pontos distintos com coordenadas em números inteiros do hipocicloide com raio R e r e para o qual há um valor correspondente de t, tal que \sin(t) e \cos(t) são números racionais.

Considere S(R, r) = \sum\_{(x,y) \in C(R, r)} |x| + |y| como a soma dos valores absolutos das coordenadas x e y dos pontos em C(R, r).

Considere T(N) = \sum_{R = 3}^N \sum_{r=1}^{\left\lfloor \frac{R - 1}{2} \right\rfloor} S(R, r) como a soma de S(R, r) para R e r sendo números inteiros positivos, R\leq N e 2r < R.

Você é informado de que:

$$\begin{align} C(3, 1) = & \{(3, 0), (-1, 2), (-1,0), (-1,-2)\} \\ C(2500, 1000) = & \{(2500, 0), (772, 2376), (772, -2376), (516, 1792), (516, -1792), (500, 0), (68, 504), \\ &(68, -504),(-1356, 1088), (-1356, -1088), (-1500, 1000), (-1500, -1000)\} \end{align}$$

Observação: (-625, 0) não é um elemento de C(2500, 1000), pois \sin(t) não é um número racional para os valores correspondentes de t.

S(3, 1) = (|3| + |0|) + (|-1| + |2|) + (|-1| + |0|) + (|-1| + |-2|) = 10

T(3) = 10; T(10) = 524; T(100) = 580.442; T({10}^3) = 583.108.600.

Encontre T({10}^6).

--hints--

hypocycloidAndLatticePoints() deve retornar 583333163984220900.

assert.strictEqual(hypocycloidAndLatticePoints(), 583333163984220900);

--seed--

--seed-contents--

function hypocycloidAndLatticePoints() {

  return true;
}

hypocycloidAndLatticePoints();

--solutions--

// solution required