60 lines
2.0 KiB
Markdown
60 lines
2.0 KiB
Markdown
---
|
||
id: 5900f3f51000cf542c50ff08
|
||
title: 'Завдання 137: Золоті самородки Фібоначчі'
|
||
challengeType: 5
|
||
forumTopicId: 301765
|
||
dashedName: problem-137-fibonacci-golden-nuggets
|
||
---
|
||
|
||
# --description--
|
||
|
||
Розглянемо нескінченний поліноміальний ряд $A_{F}(x) = xF_1 + x^2F_2 + x^3F_3 + \ldots$, де $F_k$ — $k$й член послідовності Фібоначчі: $1, 2, 3, 5, 8, \ldots$; тобто, $F_k = F_{k - 1} + F_{k − 2}, F_1 = 1$ та $F_2 = 1$.
|
||
|
||
Нас цікавлять значення $x$, для яких $A_{F}(x)$ є додатнім цілим числом.
|
||
|
||
Дивовижно,
|
||
|
||
$$\begin{align} A_F(\frac{1}{2}) & = (\frac{1}{2}) × 1 + {(\frac{1}{2})}^2 × 1 + {(\frac{1}{2})}^3 × 2 + {(\frac{1}{2})}^4 × 3 + {(\frac{1}{2})}^5 × 5 + \cdots \\\\
|
||
& = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \cdots \\\\ & = 2 \end{align}$$
|
||
|
||
Відповідні значення $x$ для перших п'яти натуральних чисел наведено нижче.
|
||
|
||
| $x$ | $A_F(x)$ |
|
||
| --------------------------- | -------- |
|
||
| $\sqrt{2} - 1$ | $1$ |
|
||
| $\frac{1}{2}$ | $2$ |
|
||
| $\frac{\sqrt{13} − 2}{3}$ | $3$ |
|
||
| $\frac{\sqrt{89} − 5}{8}$ | $4$ |
|
||
| $\frac{\sqrt{34} − 3}{5}$ | $5$ |
|
||
|
||
Назвемо $A_F(x)$ золотим самородком, якщо $x$ раціональне, оскільки вони трапляються дедалі рідше; наприклад, 10-й золотий самородок - 74049690.
|
||
|
||
Знайдіть 15-й золотий самородок.
|
||
|
||
# --hints--
|
||
|
||
`goldenNugget()` має повернути число `1120149658760`.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.strictEqual(goldenNugget(), 1120149658760);
|
||
```
|
||
|
||
# --seed--
|
||
|
||
## --seed-contents--
|
||
|
||
```js
|
||
function goldenNugget() {
|
||
|
||
return true;
|
||
}
|
||
|
||
goldenNugget();
|
||
```
|
||
|
||
# --solutions--
|
||
|
||
```js
|
||
// solution required
|
||
```
|