153 lines
5.0 KiB
Markdown
153 lines
5.0 KiB
Markdown
---
|
||
id: 59880443fb36441083c6c20e
|
||
title: Метод Ейлера
|
||
challengeType: 5
|
||
forumTopicId: 302258
|
||
dashedName: euler-method
|
||
---
|
||
|
||
# --description--
|
||
|
||
Метод Ейлера чисельно наближує рішення звичайних рівнянь першого порядку (ODE) з заданим початковим значенням. Це явний метод вирішення проблем із початковими значеннями (IVP), описаний у [цій статті](https://www.freecodecamp.org/news/eulers-method-explained-with-examples/ "news: Euler's Method Explained with Examples").
|
||
|
||
ODE повинен бути наданий за такою формою:
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$\frac{dy(t)}{dt} = f(t,y(t))$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
з початковим значенням
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$y(t_0) = y_0$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
Щоб отримати числове рішення, ми заміняємо похідну на LHS з скінченним наближенням до різниці:
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$\frac{dy(t)}{dt} \approx \frac{y(t+h)-y(t)}{h}$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
тоді вирішіть для $y(t+h)$:
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$y(t+h) \approx y(t) + h \, \frac{dy(t)}{dt}$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
що є тим самим, як і
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$y(t+h) \approx y(t) + h \, f(t,y(t))$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
Тоді, правило повторного рішення:
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$y_{n+1} = y_n + h \, f(t_n, y_n)$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
де $h$ - розмір кроку, найбільш відповідний параметр для точності рішення. Менший розмір кроку збільшує точність, але й обчислювальні витрати, тому вони завжди повинні бути підібрані вручну відповідно до завдань.
|
||
|
||
**Приклад: Закон Ньютона**
|
||
|
||
Закон Ньютона описує як об’єкт початкової температури $T(t_0) = T_0$ охолоджується в умовах температури $T_R$:
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$\frac{dT(t)}{dt} = -k \, \Delta T$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
або
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$\frac{dT(t)}{dt} = -k \, (T(t) - T_R)$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
Він каже, що швидкість охолодження $\\frac{dT(t)}{dt}$ $ об'єктів пропорційна поточній різниці температури $\\Delta T = (T(t) - T_R)$ в навколишнє середовище.
|
||
|
||
Аналітичне рішення, яке ми будемо порівняти з числовим наближенням, є
|
||
|
||
<ul style='list-style: none;'>
|
||
<li><big>$T(t) = T_R + (T_0 - T_R) \; e^{-k t}$</big></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
# --instructions--
|
||
|
||
Реалізуйте розпорядок методу Ейлера та використовуйте його для рішення заданого прикладу закону Ньютона про три різні розміри кроку:
|
||
|
||
<ul>
|
||
<li><code>2 s</code></li>
|
||
<li><code>5 s</code> і</li>
|
||
<li><code>10 s</code></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
та порівняти з аналітичним рішенням.
|
||
|
||
**Початкові значення:**
|
||
|
||
<ul>
|
||
<li>початкова температура <big>$T_0$</big> має бути <code>100 °C</code></li>
|
||
<li>температура кімнати <big>$T_R$</big> має бути <code>20 °C</code></li>
|
||
<li>охолодження константи <big>$k$</big> має буде <code>0.07</code></li>
|
||
<li>інтервал обчислення повинен бути від <code>0 s</code> до <code>100 s</code></li>
|
||
</ul>
|
||
|
||
Перший параметр функції - це початковий час, другий параметр - початкова температура, третій - минулий час і четвертий параметр - крок розміру.
|
||
|
||
# --hints--
|
||
|
||
`eulersMethod` має бути функцією.
|
||
|
||
```js
|
||
assert(typeof eulersMethod === 'function');
|
||
```
|
||
|
||
`eulersMethod(0, 100, 100, 2)` має повернути число.
|
||
|
||
```js
|
||
assert(typeof eulersMethod(0, 100, 100, 2) === 'number');
|
||
```
|
||
|
||
`eulersMethod(0, 100, 100, 2)` має повернути 20.0424631833732.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 2), 20.0424631833732);
|
||
```
|
||
|
||
`eulersMethod(0, 100, 100, 5)` має повернути 20.01449963666907.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 5), 20.01449963666907);
|
||
```
|
||
|
||
`eulersMethod(0, 100, 100, 10)` має повернути 20.000472392.
|
||
|
||
```js
|
||
assert.equal(eulersMethod(0, 100, 100, 10), 20.000472392);
|
||
```
|
||
|
||
# --seed--
|
||
|
||
## --seed-contents--
|
||
|
||
```js
|
||
function eulersMethod(x1, y1, x2, h) {
|
||
|
||
}
|
||
```
|
||
|
||
# --solutions--
|
||
|
||
```js
|
||
function eulersMethod(x1, y1, x2, h) {
|
||
let x = x1;
|
||
let y = y1;
|
||
|
||
while ((x < x2 && x1 < x2) || (x > x2 && x1 > x2)) {
|
||
y += h * (-0.07 * (y - 20));
|
||
x += h;
|
||
}
|
||
|
||
return y;
|
||
}
|
||
```
|