57 lines
2.2 KiB
Markdown
57 lines
2.2 KiB
Markdown
---
|
|
id: 5900f4ab1000cf542c50ffbd
|
|
title: 'Проблема 318: дев''ятки 2011'
|
|
challengeType: 5
|
|
forumTopicId: 301974
|
|
dashedName: problem-318-2011-nines
|
|
---
|
|
|
|
# --description--
|
|
|
|
Розглянемо дійсне число $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.
|
|
|
|
Коли ми обчислимо парні степені $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, ми отримаємо:
|
|
|
|
$$\begin{align} & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^2 = 9.898979485566356\ldots \\\\
|
|
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^4 = 97.98979485566356\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^6 = 969.998969071069263\ldots \\\\
|
|
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^8 = 9601.99989585502907\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{10} = 95049.999989479221\ldots \\\\
|
|
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{12} = 940897.9999989371855\ldots \\\\ & {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{14} = 9313929.99999989263\ldots \\\\
|
|
& {(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{16} = 92198401.99999998915\ldots \\\\ \end{align}$$
|
|
|
|
Схоже, що кількість послідовних дев'яток на початку дробової частини цих ступенів не зменшується. Насправді, можна довести, що дробова частина ${(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2n}$ наближається до 1 для великого значення $n$.
|
|
|
|
Розглянемо всі дійсні числа виду $\sqrt{p} + \sqrt{q}$ з цілими числами $p$ та $q$ та $p & lt; q$, так що дробова частина ${(\sqrt{p}+\sqrt{q})}^{2n}$ наближається до 1 для великих значень $n$.
|
|
|
|
Нехай $C(p, q, n)$ буде кількістю послідовних дев'яток на початку дробової частини ${(\sqrt{p} + \sqrt {q})}^{2n}$.
|
|
|
|
Нехай $N(p,q)$ буде мінімальною величиною $n$, так що $C(p,q,n) ≥ 2011$.
|
|
|
|
Знайдіть $\sum N(p,q)$ for $p + q ≤ 2011$.
|
|
|
|
# --hints--
|
|
|
|
`twoThousandElevenNines()` повинен повертатися як `709313889`.
|
|
|
|
```js
|
|
assert.strictEqual(twoThousandElevenNines(), 709313889);
|
|
```
|
|
|
|
# --seed--
|
|
|
|
## --seed-contents--
|
|
|
|
```js
|
|
function twoThousandElevenNines() {
|
|
|
|
return true;
|
|
}
|
|
|
|
twoThousandElevenNines();
|
|
```
|
|
|
|
# --solutions--
|
|
|
|
```js
|
|
// solution required
|
|
```
|